미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가속도와 운동 방향

문제

수직선 위를 움직이는 점 ${\mathrm{P}}$ 의 시각 $t$ 에서의 가속도가 $a ( t ) = 3 t ^{2} - 12 t + 9 ( t \geq 0 )$ 이고, 시각 $t = 0$ 에서의 속도가 $k$ 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>

ㄱ. 구간 $( 3 , \infty )$ 에서 점 ${\mathrm{P}}$ 의 속도는 증가한다. ㄴ. $k = - 4$ 이면 구간 $( 0 , \infty )$ 에서 점 ${\mathrm{P}}$ 의 운동 방향이 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 $t = 0$ 에서 시각 $t = 5$ 까지 점 ${\mathrm{P}}$ 의 위치의 변화량과 점 ${\mathrm{P}}$ 가 움직인 거리가 같도록 하는 $k$ 의 최솟값은 $\mathrm{0}$ 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

$a ( t ) = 3 t ^{2} - 12 t + 9$ , $v ( t ) = t ^{3} - 6 t ^{2} + 9 t + k$ ㄱ. $t > 3$ 이면 $a ( t ) = 3 ( t - 1 ) ( t - 3 )$ $> 0$ 이므로 $v ( t )$ 는 증가한다. $\therefore$ 참 ㄴ. $k = - 4$ 이면 $v ( 1 ) = 0$ (극댓값)이므로 $v ( t ) = 0$ 은 그림과 같다.

따라서 점 $\mathrm{P}$ 의 운동 방향은 한 번 바뀐다. $\therefore$ 거짓 ㄷ. $0 \leq t \leq 5$ 에서 $v ( t ) \geq 0$ 이면 된다. 이 구간에서 최솟값은 $v ( 3 ) = k$ 이므로 $k \geq 0$ 따라서 $k$ 의 최솟값은 $0$ 이다. $\therefore$ 참

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