가속도와 움직인 거리

점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$$( t > 0 )$에서의 속도를 $v ( t )$라 할 때 $v \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} a ( t ) dt$$\displaystyle = \int \left( 3 t ^{2} - 8 t + 3 \right) dt$ $= t ^{3} - 4 t ^{2} + 3 t + C$ ($C$는 적분상수) 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t = 1$과 시각 $t = \alpha$$\left( \alpha > 1 \right)$에서 운동 방향을 바꾸므로 $v ( 1 ) = 0$에서 $1 - 4 + 3 + C = 0$ $\therefore$$C = 0$ $v ( \alpha ) = 0$에서 $\alpha ^{3} - 4 \alpha ^{2} + 3 \alpha = 0$, $\alpha ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 3 ) = 0$ $\therefore$$\alpha = 3$ 따라서 시각 $t = 1$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{1} ^{3} v ( t ) dt$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} \left| t ^{3} - 4 t ^{2} + 3 t \right| dt$ $\displaystyle = \mathit{-} \left[ \frac{1}{4} t ^{4} - \frac{4}{3} t ^{3} + \frac{3}{2} t ^{2} \right] _{1} ^{3}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$ $p = 3$, $q = 8$이므로 $p + q = 11$