간격 조건 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? $x _{n+1} - x _{n} = a _{n}$ ($n = 1 , 2 , 3$)이라 하면 조건 (가)에서 $a _{n} \geq 2$이고 $( x _{4} - x _{3} ) + ( x _{3} - x _{2} ) + ( x _{2} - x _{1} ) = x _{4} - x _{1}$이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = x _{4} - x _{1}$ 이때 $x _{1} + a _{1} + a _{2} + a _{3} = x _{4} \leq 12$이므로 $12 - x _{4} = a _{4}$라 하면 $a _{4} \geq 0$이고 $x _{1} + a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} = 12$ $\cdots \text{㉠}$ 이때, $a _{n}' = a _{n} - 2$ ($n = 1 , 2 , 3$)이라 하면 $x _{1} + a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' + a _{4} = 6$ $\cdots \text{㉡}$ 이때 $x _{1} \geq 0 , a _{1}' \geq 0 , a _{2}' \geq 0 , a _{3}' \geq 0 , a _{4} \geq 0$이므로 $\text{㉡}$을 만족시키는 순서쌍 $\left( x _{1} , a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' , a _{4} \right)$의 개수는 ${}_{5} \mathrm{H} _{6} = _{5+6-1} C _{6} = _{10} C _{6} = _{10} C _{4}$ $\displaystyle = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ [다른 풀이] $x _{n+1} - x _{n} = a _{n}$ ($n = 1 , 2 , 3$)이라 하면 조건 (가)에서 $a _{n} \geq 2$이고 $( x _{4} - x _{3} ) + ( x _{3} - x _{2} ) + ( x _{2} - x _{1} ) = x _{4} - x _{1}$이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = x _{4} - x _{1}$ $\cdots \text{㉠}$ 이때, $a _{n}' = a _{n} - 2$ ($n = 1 , 2 , 3$)이라 하면 $a _{n}' \geq 0$이고, $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = x _{4} - x _{1} - 6$ $\cdots \text{㉡}$ 한편, 등식 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = k$ ($k \geq 0$)을 만족시키는 순서쌍 $\left( a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' \right)$의 개수는 ${}_{3} {\mathrm{H}} _{k} = _{3+k-1} {\mathrm{C}} _{k} = _{k+2} {\mathrm{C}} _{k}$ (ⅰ) $x _{4} = 12$일 때 $\text{㉡}$에서 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = 6 - x _{1}$ 이때, $0 \leq x _{1} \leq 6$이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 $\left( a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' \right)$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{6} {}_{3} \mathrm{H} \mathit{_{k}} = \sum\limits _{k = 0} ^{6} {}_{k + 2} \mathrm{C} \mathit{_{k}} = _{9} \mathrm{C} \mathit{_{6}}$ (ⅱ) $x _{4} = 11$일 때 $\text{㉡}$에서 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = 5 - x _{1}$ 이때, $0 \leq x _{1} \leq 5$이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 $\left( a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' \right)$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{5} {}_{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{k}}} = \sum\limits _{k = 0} ^{5} {}_{k + 2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} = _{8} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{5}}}$ 이와 같은 방법으로 $x _{4} = 7$일 때 $\text{㉡}$에서 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = 1 - x _{1}$ 이때, $0 \leq x _{1} \leq 1$이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 $\left( a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' \right)$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{1} {}_{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{k}}} = \sum\limits _{k = 0} ^{1} {}_{k + 2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} = _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}}$ $x _{4} = 6$일 때 $\text{㉡}$에서 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = - x _{1}$, 즉 $a _{1}' + a _{2}' + a _{3}' = 0$이므로 순서쌍 $\left( a _{1}' , a _{2}' , a _{3}' \right)$의 개수는 ${}_{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{0}}} = _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} = _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}}$ 이상에서 구하는 순서쌍의 개수는 ${}_{9} \mathrm{C} _{6} + _{8} C _{5} + _{7} C _{4} + \cdots + _{4} C _{1} + _{3} C _{0}$ $\mathrm{=} _{10} C _{6} = _{10} C _{4}$ $\displaystyle = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$