미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

감소하는 구간

문제

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} - 5 x + 1$ 이 닫힌구간 $\left[ a , b \right]$ 에서 감소할 때, $b - a$ 의 최댓값은? (단, $a$ , $b$ 는 $a < b$ 인 실수이다.) [3점] ① $\mathrm{6}$ ② $\mathrm{7}$ ③ $\mathrm{8}$ ④ $\mathrm{9}$ ⑤ $\mathrm{10}$

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①

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해설

$f' \left( x \right) = x ^{2} - 4 x - 5 = \left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = - 1$ 또는 $x = 5$ $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$\mathrm{-} 1$	$\cdots$	$\mathrm{5}$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$\mathrm{0}$	$-$	$\mathrm{0}$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

$- 1 \leq a < b \leq 5$ 일 때, 함수 $f \left( x \right)$ 는 닫힌구간 $\left[ a , b \right]$ 에서 감소한다. 따라서 $b - a$ 의 최댓값은 $5 - \left( - 1 \right) = 6$

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