미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

각의 이등분선 삼각형 넓이 급수

문제

∠B=π3\displaystyle \angle \mathrm{B} = \frac{\pi}{3}, AB‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4, BC‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 6인 △ABC\mathrm{\triangle} ABC에 대하여 ∠B\angle \mathrm{B}의 이등분선이 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}와 만나는 점을 A1\mathrm{A} _{1}이라 할 때, △ABA1\triangle \mathrm{ABA} _{1}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 점 A1\mathrm{A} _{1}에서 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}에 평행한 직선을 그어 BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}와 만나는 점을 B1\mathrm{B} _{1}, ∠A1B1C\mathrm{\angle} A _{1} \mathrm{B} _{1} C의 이등분선이 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}와 만나는 점을 A2\mathrm{A} _{2}라 할 때, △A1B1A2\triangle \mathrm{A} _{1} B _{1} A _{2}의 넓이를 S2S _{2}라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 △An−1Bn−1An\triangle \mathrm{A} _{\mathit{n} - 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} - 1} \mathrm{A} _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은 q3p\displaystyle \frac{q \sqrt{3}}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, A0=A,B0=B\mathrm{A} _{0} = A , B _{0} = B이고 pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학내적 문제해결하기

AB‾//AnBn‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} / / \overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}이므로 △An−1Bn−1An\mathrm{\triangle} A _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n} - 1} A _{\mathit{n}}󰁀△AnBnAn+1\mathrm{\triangle} A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}이다. ……① 이때, △BB1A1\mathrm{\triangle} BB _{1} A _{1}은 이등변삼각형이므로 BB1‾=A1B1‾=x\displaystyle \mathrm{\overline{BB _{1}}} = \overline{A _{1} B _{1}} = \mathit{x}라 하면 4:6=x:(6−x)4 : 6 = x : ( 6 - x )이므로 x=125\displaystyle x = \frac{12}{5}이다. …… ② ①, ②에 의하여 △An−1Bn−1An,△AnBnAn+1\mathrm{\triangle} A _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n} - 1} A _{\mathit{n}} , \triangle A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}의 닮음비는 4:125=1:35\displaystyle 4 : \frac{12}{5} = 1 : \frac{3}{5}이므로 Sn:Sn+1=1:(35)2\displaystyle S _{n} : S _{n + 1} = 1 : \left( \frac{3}{5} \right) ^{2}이다. A1B‾=\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B}} =2×4×35×cos⁡π6=1235\displaystyle 2 \times 4 \times \frac{3}{5} \times \cos \frac{\pi}{6} = \frac{12 \sqrt{3}}{5} S1=12×4×1235×sin⁡π6=1235\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{12 \sqrt{3}}{5} \times \sin \frac{\pi}{6} = \frac{12 \sqrt{3}}{5} ∑n=1∞Sn=S11−(35)2=1534\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{S _{1}}{1 - \left( \frac{3}{5} \right) ^{2}} = \frac{15 \sqrt{3}}{4} ∴p+q=19\therefore p + q = 19

태그

#등비급수#각의 이등분선#삼각형 넓이

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