각의 이등분선 길이

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이해하고 이를 이용하여 선분의 길이를 구한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{B} C$의 중점이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} E} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{B} C}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 20 = \square {{}^{10}}$ 삼각형 $\mathrm{C} DB$에서 $\mathrm{\angle} ACB = \angle ACD$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} : {\overline{AD}} = \overline{\mathrm{B} C} : \overline{\mathrm{D} C}$$= 20 : 8$, 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} : {\overline{AD}} = 5 :$$\square {{}^{2}}$ 이다. 두 선분 $\mathrm{AE}$와 $\mathrm{DF}$는 평행하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} : {\overline{AD}} = {\overline{BE}} : {\overline{EF}}$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = \mathit{x}$라 하면 $5 : 2 = 10 : 10 - x$ 이다. 이 식을 정리하면 $10 - x = 4$ $x = 6$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} =$$\square {{}^{6}}$ 이다. 그러므로 구하는 값은 $a = 10 , b = 2 , c = 6$ $a + b + c = 18$ [참고] 삼각형에서 각의 이등분선의 성질에 대해 살펴보자.

위 그림의 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle {\mathrm{A}}$의 이등분선이 변 $\mathrm{B} C$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} D}$에 평행한 직선이 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} B}$의 연장선과 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자. $\angle {\mathrm{B} AD} = \angle {\mathrm{B} EC}$ $\angle {\mathrm{B}}$는 공통이므로 $\triangle {\mathrm{B} DA} \backsim \triangle {\mathrm{B} CE}$ ($\mathrm{AA}$닮음) 따라서 닮음의 성질에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} A} : \overline{\mathrm{A} E} = \overline{\mathrm{B} D} : \overline{\mathrm{D} C}$ $\cdots$㉠ 두 직선 $\mathrm{A} D$, $\mathrm{E} C$가 평행하므로 $\angle {\mathrm{C} AD} = \angle {\mathrm{E} CA}$ $\angle {\mathrm{B} AD} = \angle {\mathrm{A} EC}$ 따라서 $\angle {\mathrm{A} EC} = \angle {\mathrm{A} CE}$ 삼각형 $\mathrm{A} CE$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} E} = \overline{\mathrm{A} C}$ 그러므로 ㉠에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} A} : \overline{\mathrm{A} C} = \overline{\mathrm{B} D} : \overline{\mathrm{D} C}$