미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

각의 이등분선 극한

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 각 C\mathrm{C}의 이등분선이 변 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 삼각형 ADC\mathrm{ADC}가 이등변삼각형이고 AD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 1 일 때, lim⁡θ→0AB‾\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} \mathrm{\overline{AB}}의 값은? [3점]

①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③43\displaystyle \frac{4}{3}④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤65\displaystyle \frac{6}{5}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한값 구하기

∠CDB=2θ,∠CBH=3θ\angle CDB = 2 \theta , \angle CBH = 3 \theta 이므로 ∠ACH=π2−θ,∠DCH=π2−2θ,∠BCH=π2−3θ\displaystyle \angle ACH = \frac{\pi}{2} - \theta , \angle DCH = \frac{\pi}{2} - 2 \theta , \angle BCH = \frac{\pi}{2} - 3 \theta AH‾=CH‾×tan⁡(π2−θ)=CH‾×cot⁡θ\displaystyle {\overline{AH}} = {\overline{CH}} \times \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = {\overline{CH}} \times \cot \theta DH‾=CH‾×tan⁡(π2−2θ)=CH‾×cot⁡2θ\displaystyle {\overline{DH}} = {\overline{CH}} \times \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2 \theta \right) = {\overline{CH}} \times \cot 2 \theta BH‾=CH‾×tan⁡(π2−3θ)=CH‾×cot⁡3θ\displaystyle {\overline{BH}} = {\overline{CH}} \times \tan \left( \frac{\pi}{2} - 3 \theta \right) = {\overline{CH}} \times \cot 3 \theta AD‾=AH‾−DH‾=CH‾×(cot⁡θ−cot⁡2θ)=1\displaystyle {\overline{AD}} = {\overline{AH}} - {\overline{DH}} = {\overline{CH}} \times \left( \cot \theta - \cot 2 \theta \right) = 1 ∴CH‾=1cot⁡θ−cot⁡2θ\displaystyle \therefore {\overline{CH}} = \frac{1}{\cot \theta - \cot 2 \theta} lim⁡θ→0AB‾=lim⁡θ→0(AH‾−BH‾)=lim⁡θ→0CH‾×(cot⁡θ−cot⁡3θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} {\overline{AB}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} ( {\overline{AH}} - {\overline{BH}} ) = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} {\overline{CH}} \times \left( \cot \theta - \cot 3 \theta \right) =lim⁡θ→01cot⁡θ−cot⁡2θ×(cot⁡θ−cot⁡3θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} \frac{1}{\cot \theta - \cot 2 \theta} \times \left( \cot \theta - \cot 3 \theta \right) =lim⁡θ→0θtan⁡θ−θtan⁡3θθtan⁡θ−θtan⁡2θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {} \frac{\frac{\theta}{\tan \theta} - \frac{\theta}{\tan 3 \theta}}{\frac{\theta}{\tan \theta} - \frac{\theta}{\tan 2 \theta}} =1−131−12=43\displaystyle = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{3} CD‾=1,∠CDB=2θ,∠CBD=π−3θ\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = 1 , \angle \mathrm{CDB} = 2 \theta , \angle \mathrm{CBD} = \pi - 3 \theta이므로 사인법칙에 의하여 1sin⁡(π−3θ)=DB‾sin⁡θ\displaystyle \frac{1}{\sin ( \pi - 3 \theta )} = \frac{\overline{\mathrm{DB}}}{\sin \theta}이므로 DB‾=sin⁡θsin⁡(π−3θ)=sin⁡θsin⁡3θ\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}} = \frac{\sin \theta}{\sin ( \pi - 3 \theta )} = \frac{\sin \theta}{\sin 3 \theta}}이다. lim⁡θ→0DB‾=lim⁡θ→0sin⁡θsin⁡3θ=13\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\overline{\mathrm{DB}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\frac{\sin \theta}{\sin 3 \theta} = \frac{1}{3}}}이다. 따라서 lim⁡θ→0AB‾=lim⁡θ→0(1+DB‾)=43\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\overline{\mathrm{AB}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {( 1 + \overline{\mathrm{DB}} ) =}} \frac{4}{3}

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#삼각함수 극한#사인법칙

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