대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

각의 범위를 이용한 sin β 구하기

문제

0<α<π2<β<π\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi이고 sin⁡α=35\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}, sin⁡(α+β)=−513\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = - \frac{5}{13} 일 때, sin⁡β\sin \beta의 값은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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81

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해설

0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}이고 sin⁡α=35\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}이므로 cos⁡α=45\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{5} π2<α+β<32π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{3}{2} \pi이고 sin⁡(α+β)<0\sin ( \alpha + \beta ) < 0이므로 π<α+β<32π\displaystyle \pi < \alpha + \beta < \frac{3}{2} \pi 따라서 cos⁡(α+β)=−1−25169=−1213\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = - \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = - \frac{12}{13} β=(α+β)−α\beta = ( \alpha + \beta ) - \alpha이므로 sin⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡α−cos⁡(α+β)sin⁡α\sin \beta = \sin ( \alpha + \beta ) \cos \alpha - \cos ( \alpha + \beta ) \sin \alpha =−513×45+1213×35=−20+3665=1665\displaystyle = - \frac{5}{13} \times \frac{4}{5} + \frac{12}{13} \times \frac{3}{5} = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} 따라서 p=65p = 65, q=16q = 16이므로 p+q=81p + q = 81

태그

#삼각함수의 덧셈정리#사인#각의 범위

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