각이등분선 넓이비

[출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 점 $\mathrm{D} \left( 0 , 0 \right)$, 점 $\mathrm{B} \left( - 1 , 0 \right)$, 점 $\mathrm{C} \left( 1 , 0 \right)$, 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , b \right)}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \sqrt{7}$이므로 $\displaystyle \left( a + 1 \right) ^{2} + b ^{2} = \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}$, $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = \left( \sqrt{7} \right) ^{2}$을 연립하여 풀면 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 , \sqrt{3} \right)$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 2$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 성질에 의해 선분 $\mathrm{CE}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선이다. 따라서 $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{CE}}} \right. = 1$이고 점 $\mathrm{P}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이다. $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{AP}}} : {\overline{\mathrm{PD}}} \right. = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{AP}}} \right. = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$, $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{PD}}} \right. = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{CP}}} : {\overline{\mathrm{PE}}} \right. = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{CP}}} \right. = \frac{2}{3}$, $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{PE}}} \right. = \frac{1}{3}$ 삼각형 $\mathrm{EPA}$에서 선분 $\mathrm{PR}$이 각 $\mathrm{APE}$의 이등분선이므로 각의 이등분선의 성질에 의해 $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{PA}}} : {\overline{\mathrm{PE}}} = {\overline{\mathrm{AR}}} : {\overline{\mathrm{ER}}} \right. = {2 \sqrt{7}} : {1}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하면 삼각형 $\mathrm{EPA}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle S _{1} = S \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{2 \sqrt{7} + 1}$ 같은 방법으로 삼각형 $\mathrm{CPD}$에서 $\displaystyle \left. {\overline{\mathrm{PD}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} = {\overline{\mathrm{DQ}}} : {\overline{\mathrm{CQ}}} \right. = {\sqrt{7}} : {2}$ 삼각형 $\mathrm{CPD}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle S _{2} = S \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{\sqrt{7} + 2}$ $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = 8 - 2 \sqrt{7}$이므로 $a = 8$, $b = - 2$ 따라서 $ab = - 16$ (별해) 점 $\mathrm{D}$가 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = 2 \left( {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} \right)$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 2$이고 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다.