각 자릿수의 계승의 합이 자신과 같은 수

$0 ! =$$1 ! = 1$, $2 ! = 2$, $3 ! = 6$, $4 ! = 24$, $5 ! = 120$ $6 ! = 720$, $7 ! = 5040$, $8 ! = 40320$, $9 !$$= 362880$ ㄱ. $5 ! = 120 > 99$이므로 두 자리 자연수가 $M$의 원소가 되려면 각 자릿수는 $4$이하여야 한다. 이때, $3$이하의 숫자조합으로 이루어진 두 자리 자연수의 경우 각 자릿수의 계승의 합이 $2$자리인 경우는 $33$인데 $3 ! + 3 !$$\ne 3$으로 $M$의 원소가 되지 못한다. 자릿수에 $4$를 하나 이상 포함한 두 자리의 자연수의 경우 $0 ! + 4 ! = 25$, $1 ! + 4 ! = 25$, $2 ! + 4 ! = 26$, $3 ! + 4 ! = 30$, $4 ! + 4 ! = 48$ 이므로 어느 경우에도 $M$의 원소가 되지 못한다. 따라서 두 자리의 자연수는 $M$의 원소가 될 수 없다. ㄴ. $7 ! = 5040$$> 1000$이므로 $M$의 원소인 세 자리 자연수의 각 자릿수는 $7$보다 작아야 한다. (참) ㄷ. $9 !$$= 362880$$< 10 ^{6}$이므로 $8 \times 9 ! < 8 \times 10 ^{6} < 10 ^{7}$이다. 또한 $9 ! \times x$, $10 ^{x-1}$의 그래프의 개형을 생각할 때, $x = 8$일 때, $9 ! \times x < 10 ^{x-1}$를 만족하므로 결국 $8$이상의 모든 자연수에 대하여 $9 ! \times x < 10 ^{x-1}$이 성립한다. 즉, 자리수가 $8$이상이면 각 자릿수가 모두 가장 큰 수인 $9$라 가정하더라도 각 자릿수의 계승의 합이 해당 자릿수의 가장 작은 수에 미치지 못한다. 따라서 $M$에는 $8$자리 이상의 자연수가 존재하지 않는다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.