음함수와 역함수

함수 $f \left( x \right)$의 역함수가 존재하므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \geq 0$ 또는 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \leq 0$ $\displaystyle \left( f \left( x \right) \right) ^{3} + f \left( x \right) = \frac{a}{x ^{2} + 12} - bx - \frac{16}{3} b$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \left. \left( f \left( x \right) \right) ^{2} + 1 \right.' \left( x \right) = \frac{- 2 ax}{\left( x ^{2} + 12 \right) ^{2}} - b$ 양변에 $x = 0$을 대입하면 $\left. \left( f \left( 0 \right) \right) ^{2} + 1 \right.' \left( 0 \right) = - b$ $3 ( f ( 0 ) ) ^{2} + 1 > 0$이고 $b > 0$이므로 $f' \left( 0 \right) < 0$ 그러므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \leq 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{- 2 ax}{\left( x ^{2} + 12 \right) ^{2}} - b$라 하면 $g \left( x \right) = \left. \left( f \left( x \right) \right) ^{2} + 1 \right.' \left( x \right)$이고 ㉠에 의하여 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq 0$ 조건 (나)에 의하여 $g \left( k \right) = \left. \left( f \left( k \right) \right) ^{2} + 1 \right.' \left( k \right) = 0$이므로 함수 $g ( x )$는 $x = k$에서 최댓값 $0$을 갖는다. $\displaystyle g' ( x ) = \frac{6 a ( x + 2 ) ( x - 2 )}{\left( x ^{2} + 12 \right) ^{3}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {g \left( x \right) = - b}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {g \left( x \right) = - b}$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = g \left( x \right)$의 최댓값은 $x = - 2$일 때뿐이므로 $k = - 2$ 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = - bx$가 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합은 $k + 8 = 6$이다. $f' \left( - 2 \right) = 0$이므로 $\displaystyle g \left( - 2 \right) = \frac{a}{64} - b = 0$에서 $a = 64 b$ 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = - bx$가 만나는 점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $\displaystyle \left( f \left( t \right) \right) ^{3} + f \left( t \right) = \frac{64 b}{t ^{2} + 12} - bt - \frac{16}{3} b$이고 $f \left( t \right) = - bt$이므로 $\displaystyle \left( - bt \right) ^{3} - bt = \frac{64 b}{t ^{2} + 12} - bt - \frac{16}{3} b$ $\displaystyle 0 = b ^{3} t ^{3} + \frac{64 b}{t ^{2} + 12} - \frac{16}{3} b$ $\displaystyle 0 = b ^{2} t ^{3} + \frac{64}{t ^{2} + 12} - \frac{16}{3}$ $\displaystyle 0 = \frac{3 b ^{2} t ^{3} \left( t ^{2} + 12 \right) + 192 - 16 \left( t ^{2} + 12 \right)}{3 \left( t ^{2} + 12 \right)}$ $\displaystyle 0 = \frac{t ^{2} \left( 3 b ^{2} t ^{3} + 36 b ^{2} t - 16 \right)}{3 \left( t ^{2} + 12 \right)}$ 그러므로 방정식 $f \left( t \right) = - bt$의 한 실근은 $t = 0$ $h \left( t \right) = 3 b ^{2} t ^{3} + 36 b ^{2} t - 16$이라 하면 $h' \left( t \right) = 9 b ^{2} t ^{2} + 36 b ^{2}$ 모든 실수 $t$에 대하여 $h' \left( t \right) > 0$이므로 삼차함수 $h \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 방정식 $h \left( t \right) = 0$의 실근의 개수는 $1$이고, 그 실근을 $t = t _{1} \left( t _{1} \neq 0 \right)$이라 하자. 방정식 $f \left( t \right) = - bt$는 서로 다른 두 실근을 갖고 두 실근은 $t = 0$과 $t = t _{1}$ 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = - bx$가 만나는 서로 다른 모든 점의 $x$좌표의 합은 $0 + t _{1} = 6$이므로 $t _{1} = 6$ $h \left( 6 \right) = 648 b ^{2} + 216 b ^{2} - 16 = 0$ $\displaystyle b ^{2} = \frac{1}{54}$이므로 $\displaystyle a \times b = 64 b \times b = 64 \times b ^{2} = \frac{32}{27}$ $p = 27$, $q = 32$ 따라서 $p + q = 59$