미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

음함수의 미분

문제

곡선 ex−xey=ye ^{x} - x e ^{y} = y위의 점 (0,1)( 0 , 1 )에서의 접선의 기울기는? [3점] ①3−e3 - e②2−e2 - e③1−e1 - e④−e- e⑤−1−e- 1 - e

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③

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해설

[출제의도] 음함수의 미분법을 이용하여 음함수 꼴로 나타낸 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구할 수 있는가? ex−xey=ye ^{x} - xe ^{y} = y의 양변을 xx에 대하여 미분하면 ex−ey−xey×dydx=dydx\displaystyle e ^{x} - e ^{y} - xe ^{y} \times \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} 이므로 dydx=ex−eyxey+1\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{e ^{x} - e ^{y}}{xe ^{y} + 1} 따라서 곡선 위의 점 (0,1)( 0 , 1 )에서의 접선의 기울기는 e0−e10×e1+1=1−e\displaystyle \frac{e ^{0} - e ^{1}}{0 \times e ^{1} + 1} = 1 - e

태그

#음함수의 미분법#접선의 기울기

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