미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

음함수 미분

문제

곡선 xy−y3ln⁡x=2xy - y ^{3} \ln x = 2에 대하여 x=1x = 1일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은? [3점] ①00②22③44④66⑤88

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④

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해설

[출제의도] 음함수의 미분법 이해하기 음함수의 미분법에 의하여 y+xdydx−3y2dydxln⁡x−y31x=0\displaystyle y + x \frac{dy}{dx} - 3 y ^{2} \frac{dy}{dx} \ln x - y ^{3} \frac{1}{x} = 0 dydx=y3x−yx−3y2ln⁡x\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y ^{3}}{x} - y}{x - 3 y ^{2} \ln x}(단, x−3y2ln⁡x≠0x - 3 y ^{2} \ln x \ne 0) x=1x = 1일 때 y=2y = 2이므로 dydx=8−21−0=6\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{8 - 2}{1 - 0} = 6

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#음함수의 미분법

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