음함수 접선 기울기

[출제의도] 이해능력-평면곡선 $x ^{3} + x + y + y ^{3} = 4$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 3 x ^{2} + 1 + \frac{dy}{dx} + 3 y ^{2} \frac{dy}{dx} = 0$ 따라서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{3 x ^{2} + 1}{3 y ^{2} + 1}$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{3 x ^{2} + 1}{3 y ^{2} + 1} = - 1$에서 $3 x ^{2} + 1 = 3 y ^{2} + 1 , x ^{2} - y ^{2} = 0$ $( x + y ) ( x - y ) = 0$ 따라서 $y = x$또는 $y = - x$ $y = - x$이면 등식 $x ^{3} + x + y + y ^{3} = 4$를 만족시키는 두 실수 $x , y$는 존재하지 않는다. $y = x$이면 $2 x ^{3} + 2 x = 4$에서 $x ^{3} + x - 2 = 0$ $( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 2 ) = 0$ $x$는 실수이므로 $x = 1$ 따라서 $a = 1 , b = 1$이므로 $a + b = 2$