음함수 접선 기울기

[출제의도] 음함수의 미분을 할 수 있는가? $2 x + x ^{2} y - y ^{3} = 2$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 + 2 xy + x ^{2} \frac{dy}{dx} - 3 y ^{2} \frac{dy}{dx} = 0$ 이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{- 2 \left( xy + 1 \right)}{x ^{2} - 3 y ^{2}}$ (단, $x ^{2} - 3 y ^{2} \ne 0$) 따라서 $x = 1$, $y = 1$일 때의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 2 \left( 1 \times 1 + 1 \right)}{1 - 3} = 2$