음함수 곡선의 두 접선

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = 2 \left( a - b \right) ^{2}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{2} \times \left| a - b \right| = 2 \sqrt{2}$ $1 < a < b$이므로 $b - a = 2$ $\cdots \cdots$㉠ $x ^{2} - xy + y ^{2} + k = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 x - y - x \frac{dy}{dx} + 2 y \frac{dy}{dx} = 0$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2 x - y}{x - 2 y}$ (단, $x \neq 2 y$) $\cdots \cdots$㉡ 곡선 $C$ 위의 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서의 접선의 기울기를 각각 $m _{1}$, $m _{2}$라 하자. ㉡에 $x = a$, $y = b$를 대입하면 $\displaystyle m _{1} = \frac{2 a - b}{a - 2 b}$ ㉠에서 $\displaystyle m _{1} = \frac{2 a - b}{a - 2 b} = \frac{a - 2}{- a - 4} = \frac{6}{a + 4} - 1$ $a > 1$이므로 $\displaystyle - 1 < m _{1} < \frac{1}{5}$ $\cdots \cdots$㉢ ㉡에 $x = b$, $y = a$를 대입하면 $\displaystyle m _{2} = \frac{2 b - a}{b - 2 a} = \frac{1}{m _{1}}$ $\displaystyle \tan \theta = \left| \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} \times m _{2}} \right| = \left| \frac{m _{1} - \frac{1}{m _{1}}}{2} \right| = \left| \frac{m _{1} ^{2} - 1}{2 m _{1}} \right| = \frac{4}{3}$ (ⅰ) $\displaystyle \frac{m _{1} ^{2} - 1}{2 m _{1}} = - \frac{4}{3}$인 경우 $3 m _{1} ^{2} + 8 m _{1} - 3 = 0$에서 $m _{1} = - 3$ 또는 $\displaystyle m _{1} = \frac{1}{3}$ 이는 ㉢을 만족시키지 못한다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{m _{1} ^{2} - 1}{2 m _{1}} = \frac{4}{3}$인 경우 $3 m _{1} ^{2} - 8 m _{1} - 3 = 0$에서 $\displaystyle m _{1} = - \frac{1}{3}$ 또는 $m _{1} = 3$ ㉢에서 $\displaystyle m _{1} = - \frac{1}{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle m _{1} = \frac{6}{a + 4} - 1 = - \frac{1}{3}$, $a = 5$ ㉠에서 $b = 7$이고 곡선 $C$가 점 ${\mathrm{A}} \left( 5 , 7 \right)$을 지나므로 $5 ^{2} - 5 \times 7 + 7 ^{2} + k = 0$, $k = - 39$ 따라서 $k + a + b = \left( - 39 \right) + 5 + 7 = - 27$