e^{-x} 삼각형·활꼴 넓이 급수

ㄱ. $f ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle \int _{n} ^{n+1} f ( x ) dx$는 곡선 $y = f ( x )$와 두 직선 $x = n , x = n + 1$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다. 두 점 $P _{n} , Q _{n}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $P' _{n} , Q' _{n}$이라 하면 직사각형 $P _{n} P' _{n} Q' _{n} Q _{n}$의 넓이는 $( n + 1 - n ) \times f ( n ) = f ( n )$이다. $\displaystyle \therefore \int _{n} ^{n + 1} {} f ( x ) dx = f ( n ) - ( A _{n} - B _{n} )$ (참) ㄴ. $\displaystyle A _{n} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left\{ f ( n ) - f ( n + 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( e ^{-n} - e ^{-n-1} ) \right.$$\displaystyle = \frac{e ^{- n - 1}}{2} ( e - 1 )$ $\displaystyle = \frac{e - 1}{2} \cdot \frac{1}{e ^{n+1}}$ 따라서 수열 $\left\{ A _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{e - 1}{2 e ^{2}}$, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{e}$인 등비수열이다. $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} A _{n} = \frac{\frac{e - 1}{2 e ^{2}}}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{1}{2 e}$ (참) ㄷ. $\displaystyle \int _{n} ^{n+1} f ( x ) dx = \int _{n} ^{n+1} e ^{-x} dx$$= \left[ - e ^{-x} \right] _{n} ^{n+1}$ $= - e ^{-n-1} + e ^{-n} = 2 A _{n}$ 이므로 ㄱ에서 $B _{n} = f ( n ) - 3 A _{n}$ 그런데, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} f ( n ) = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} e ^{-n}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}}$$\displaystyle = \frac{1}{e - 1}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} B _{n} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} f ( n ) - 3 \sum\limits _{n=1} ^{\infty} A _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{e - 1} - \frac{3}{2 e}$ $\displaystyle = \frac{2 e - 3 ( e - 1 )}{2 e ( e - 1 )} = \frac{3 - e}{2 e ( e - 1 )}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.