미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

e 꼴 극한

문제

lim⁡x→π2(1−cos⁡x)sec⁡x\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} ( 1 - \cos x ) ^{\sec x}의 값은? [3점] ①1e2\displaystyle \frac{1}{e ^{2}}②1e\displaystyle \frac{1}{e}③11④ee⑤e2e ^{2}

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②

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해설

lim⁡x→π2(1−cos⁡x)sec⁡x\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} ( 1 - \cos x ) ^{\sec x} (π2−x=θ로치환)\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} - x = \theta \text{로} \text{치환} \right) =lim⁡θ→0(1−cos⁡(π2−θ))1cos⁡(π2−θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\left( 1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \right) ^{\frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)}}} =lim⁡θ→0(1−sin⁡θ)1sin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\left( 1 - \sin \theta \right) ^{\frac{1}{\sin \theta}}} =lim⁡θ→0{(1−sin⁡θ)1−sin⁡θ}−1\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} {\left\{ \left( 1 - \sin \theta \right) ^{\frac{1}{- \sin \theta}} \right\} ^{- 1}} =e−1= e ^{- 1}

태그

#지수함수의 극한#e의 정의

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