두루마리 화장지 상자

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 수학외적문제 해결하기 원의 반지름의 길이가 $10$이므로 정사각형의 한 변의 길이는 $40$ …㉠ 그림과 같이 마름모의 꼭짓점을 각각 $\mathrm{A} , B , C , D$ 라 하고, 외접하는 세 원의 중심을 $\mathrm{O} , P , Q$라 하자.

$\triangle \mathrm{OPQ}$는 한 변의 길이가 $20$인 정삼각형 $\displaystyle {\mathrm{\overline{OQ}}}$와 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}}}$가 평행이고, $\displaystyle {\mathrm{\overline{OP}}}$와 $\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}}}$가 평행이므로 $\triangle \mathrm{ABC}$는 $\triangle \mathrm{OPQ}$와 닮은 정삼각형 점 $\mathrm{O}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$까지 이르는 거리는 $\displaystyle 10 \sqrt{3}$ 점 $\mathrm{B}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$까지 이르는 거리는 $\displaystyle 10 \sqrt{3} + 20$ 마름모의 한 변의 길이를 $x$라 하면, $\displaystyle x : 20 = \left( 10 \sqrt{3} + 20 \right) : 10 \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore x = \frac{40 \sqrt{3}}{3} + 20$ …㉡ ㉠과 ㉡에 의해 $\displaystyle \left( \frac{40 \sqrt{3}}{3} + 20 \right) - 40 = 20 \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1 \right)$