두 열 좌석에 앉기

[출제의도] 확률을 이용하여 추론하기 총 $\mathrm{7}$명의 학생이 $\mathrm{7}$개의 좌석 중 임의로 $\mathrm{1}$개씩 선택하여 앉는 경우의 수는 $\mathrm{7}$! ${\mathrm{A}}$열의 좌석에 $\mathrm{1}$학년 학생들이 이웃하여 앉거나 $\mathrm{2}$학년 학생들이 이웃하여 앉는 사건을 $X$, ${\mathrm{A}}$열의 좌석에 $\mathrm{3}$학년 학생들이 이웃하여 앉는 사건을 $Y$라 하자. (ⅰ) $\mathrm{A}$열의 좌석에 $\mathrm{1}$학년 학생들이 이웃하여 앉거나 $\mathrm{2}$학년 학생들이 이웃하여 앉는 경우 조건 (나)에 의하여 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{3}$명 모두 $\mathrm{B}$열의 좌석에 앉을 수 없으므로 $\mathrm{3}$학년 학생 중 $\mathrm{1}$명은 반드시 $\mathrm{A}$열의 좌석에 앉아야 한다. ${\mathrm{A}}$열의 좌석에 이웃하여 앉는 학생들의 학년을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}$ 이 정해진 학년의 두 학생이 ${\mathrm{A}}$열의 두 좌석에 이웃하여 앉는 경우의 수는 $2 \times 2$! ${\mathrm{A}}$열의 남은 한 좌석에 앉을 $\mathrm{3}$학년 학생 한 명을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}$ 그러므로 $\mathrm{A}$열의 $\mathrm{3}$개의 좌석에 학생들이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times \left( 2 \times 2 ! \right) \times \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} = 24$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ${\mathrm{B}}$열에는 $\mathrm{1}$, $\mathrm{2}$학년 중 ${\mathrm{A}}$열에 앉지 않은 한 개 학년의 학생 $\mathrm{2}$명과 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 앉아야 한다. 이제 남은 $\mathrm{2}$개 학년의 학생들이 앉는 자리를 $\triangle$, $\square$라 하면 같은 학년의 학생끼리 이웃하지 않도록 앉는 상황은 $\triangle \square \triangle \square$, $\square \triangle \square \triangle$ 의 $\mathrm{2}$가지이다. 이 각각에 대하여 $\mathrm{2}$개 학년의 학생 두 명씩 총 $\mathrm{4}$명의 학생이 앉는 경우의 수는 $2 ! \times 2 !$ 그러므로 $\mathrm{B}$열의 $\mathrm{4}$개의 좌석에 학생들이 앉는 경우의 수는 $2 \times \left( 2 ! \times 2 ! \right) = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{(} X ) = \frac{24 \times 8}{7 !}$ (ⅱ) $\mathrm{A}$열의 좌석에 $\mathrm{3}$학년 학생들이 이웃하여 앉는 경우 ${\mathrm{A}}$열의 좌석에 앉을 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{2}$명을 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}$ 선택된 $\mathrm{3}$학년 학생 $\mathrm{2}$명이 $\mathrm{A}$열의 두 좌석에 이웃하여 앉는 경우의 수는 $2 \times 2$! ${\mathrm{A}}$열의 남은 한 좌석에 앉을 학생 한 명을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}$ 그러므로 $\mathrm{A}$열의 $\mathrm{3}$개의 좌석에 학생들이 앉는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \times \left( 2 \times 2 ! \right) \times \mathit{_{4}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} = 48$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\mathrm{A}$열에 학생 $\mathrm{3}$명이 앉은 후 남은 $\mathrm{4}$명의 학생은 $\mathrm{1}$학년 $\mathrm{1}$명, $\mathrm{2}$학년 $\mathrm{2}$명, $\mathrm{3}$학년 $\mathrm{1}$명으로 구성되거나 $\mathrm{1}$학년 $\mathrm{2}$명, $\mathrm{2}$학년 $\mathrm{1}$명, $\mathrm{3}$학년 $\mathrm{1}$명으로 구성된다. 어느 경우라도 학년이 같은 학생이 $\mathrm{2}$명이므로 남은 $\mathrm{4}$명의 학생들이 조건 (나)를 만족시키면서 ${\mathrm{B}}$열의 $\mathrm{4}$개의 좌석에 앉는 경우의 수는 같다. $\mathrm{4}$명의 학생이 ${\mathrm{B}}$열의 $\mathrm{4}$개의 좌석에 조건과 상관없이 앉는 경우의 수는 $\mathrm{4}$! 이 $\mathrm{4}$명의 학생이 $\mathrm{B}$열의 $\mathrm{4}$개의 좌석에 앉되 같은 학년의 학생 $\mathrm{2}$명이 이웃하면서 앉는 경우의 수는 $2 \times 3$! 그러므로 $\mathrm{B}$열의 $\mathrm{4}$개의 좌석에 학생들이 앉는 경우의 수는 $4 ! - 2 \times 3 ! \mathit{=} 12$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{(} Y ) = \frac{48 \times 12}{7 !}$ 이때 두 사건 $X$와 $Y$는 서로 배반사건이므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} \mathit{(} X \cup Y )$$= {\mathrm{P}} \mathit{(} X ) + {\mathrm{P}} \mathit{(} Y )$ $\displaystyle = \frac{24 \times 8}{7 !} + \frac{48 \times 12}{7 !}$ $\displaystyle = \frac{16}{105}$