두 원의 공통접선

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 중심을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\left( - 7 , 2 \right)$, $\left( \mathit{0} , b \right)$이다.

그림과 같이 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $l _{1}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}} = \sqrt{5}$ 이므로 두 삼각형 $\mathrm{PAH}$, $\mathrm{PBI}$는 닮음비가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} : {\overline{\mathrm{BI}}} = 2 : 1$ 인 닮은 도형이다. 이때 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{AP}$의 중점이므로 $\displaystyle \frac{\left( - 7 \right) + a}{2} = 0$, $\displaystyle \frac{2 + 0}{2} = b$ $a = 7$, $b = 1$ …… ㉠ 점 ${\mathrm{P}} \left( 7 , 0 \right)$을 지나고 점 $\mathrm{B} \left( 0 , 1 \right)$에서의 거리가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 직선을 $y = m \left( x - 7 \right)$, 즉 $mx - y - 7 m = 0$($m$은 상수) 로 놓으면 $\displaystyle \frac{\left| m \times 0 - 1 - 7 m \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ $\displaystyle \left| - 7 m - 1 \right| = \sqrt{5 \left( m ^{2} + 1 \right)}$ …… ㉡ ㉡의 양변을 제곱하면 $49 m ^{2} + 14 m + 1 = 5 m ^{2} + 5$ $44 m ^{2} + 14 m - 4 = 0$, $22 m ^{2} + 7 m - 2 = 0$ $\left( 2 m + 1 \right) \left( 11 m - 2 \right) = 0$ $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle m = \frac{2}{11}$ 따라서 두 직선 $l _{1}$, $l _{2}$의 기울기의 곱은 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} \right) \times \frac{2}{11} = \mathit{-} \frac{1}{11}$ 이므로 $\displaystyle c = \mathit{-} \frac{1}{11}$ …… ㉢ ㉠, ㉢에서 $11 \left( a + b + c \right)$$\displaystyle = 11 \left( 7 + 1 - \frac{1}{11} \right)$$= 87$