대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원의 공통부분 넓이

문제

그림과 같이 두 점 O\mathrm{O}, O′\mathrm{O}'을 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 33인 두 원 OO, O′O'이 한 평면 위에 있다. 두 원 OO, O′O'이 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 할 때, ∠AOB=56π\displaystyle \angle \mathrm{AOB} = \frac{5}{6} \pi이다.

원 OO의 외부와 원 O′O'의 내부의 공통부분의 넓이를 S1S _{1}, 마름모 AOBO′\mathrm{AOBO}'의 넓이를 S2S _{2}라 할 때, S1−S2S _{1} - S _{2}의 값은? [4점] ①54π\displaystyle \frac{5}{4} \pi②43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi③1712π\displaystyle \frac{17}{12} \pi④32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi⑤1912π\displaystyle \frac{19}{12} \pi

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④

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해설

[출제의도] 부채꼴의 넓이를 이용하여 문제를 해결한다. 원 O′O'에서 중심각의 크기가 76π\displaystyle \frac{7}{6} \pi인 부채꼴 AO′B\mathrm{AO}' B의 넓이를 T1T _{1}, 원 OO에서 중심각의 크기가 56π\displaystyle \frac{5}{6} \pi인 부채꼴 AOB\mathrm{AOB}의 넓이를 T2T _{2}라 하면, S1S _{1}=T1+S2−T2= T _{1} + S _{2} - T _{2} =(12×32×76π)+S2−(12×32×56π)\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \times 3 ^{2} \times \frac{7}{6} \pi \right) + S _{2} - \left( \frac{1}{2} \times 3 ^{2} \times \frac{5}{6} \pi \right) =32π+S2\displaystyle = \frac{3}{2} \pi + S _{2} 따라서 S1−S2S _{1} - S _{2}=32π\displaystyle = \frac{3}{2} \pi

태그

#부채꼴의 넓이#호도법

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