기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원판 그림자 넓이

문제

그림과 같이 중심 사이의 거리가 3\displaystyle \sqrt{3}이고 반지름의 길이가 11인 두 원판과 평면 α\alpha가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 ll은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 α\alpha와 이루는 각의 크기가 60∘60 ^\circ이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 α\alpha에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 α\alpha에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.) [4점]

①33π+38\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \pi + \frac{3}{8}②23π+34\displaystyle \frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{4}③233π+18\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} \pi + \frac{1}{8}④43π+316\displaystyle \frac{4}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{16}⑤233π+34\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} \pi + \frac{3}{4}

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⑤

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해설

그림의 원판을 태양광선 방향으로 평행이동하여 만나게 하면 윗 원판이 아래 원판의 중심을 지난다.

겹친 원판의 넓이 SS는 아래 그림의 빗금친 부분의 넓이를 S1S _{1}이라 하면 S=2×π×12−2S1S = 2 \times \pi \times 1 ^{2} - 2 S _{1}이다. S1S _{1}은 중심각이 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi인 활꼴이므로 S1=12×12×23π−12×12×sin⁡23π\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{2}{3} \pi - \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \sin \frac{2}{3} \pi=13π−34\displaystyle = \frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{4} ∴S=2π−23π+32=43π+32\displaystyle \therefore S = 2 \pi - \frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} 그런데 구하는 그림자의 넓이 S′S'은 평면과 이루는 각이 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}인 정사영이므로 S′=(43π+32)×cos⁡π6\displaystyle S' = \left( \frac{4}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \cos \frac{\pi}{6} =(43π+32)×32=233π+34\displaystyle = \left( \frac{4}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \pi + \frac{3}{4}

태그

#정사영#활꼴의 넓이

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