기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 원 사이 원 중심

문제

그림과 같이 중심이 $\mathrm{F} ( 3$ , $0 )$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원과 중심이 $\mathrm{F}' ( - 3$ , $0 )$ 이고 반지름의 길이가 $9$ 인 원이 있다. 큰 원에 내접하고 작은 원에 외접하는 원의 중심 $\mathrm{P}$ 는 $\mathrm{F}$ 와 $\mathrm{F}'$ 을 두 초점으로 하는 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위를 움직인다. 이때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 일 때, 타원의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \overline{PF}' \mathit{=} 2 a$ ……………………………………… ㉠ 초점이 F(3, 0), F'(-3, 0)이므로 $a ^{2} - b ^{2} = 3 ^{2}$ …………………………………………… ㉡ 또한 점 P를 중심으로 하는 원의 반지름의 길이를 r 라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} \mathit{=} r + 1$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' \mathit{=} 9 - r$ ㉠에서 $r + 1 + 9 - r = 2 a$ $2 a = 10$ ∴ a=5 ㉡에서 $5 ^{2} - b ^{2} = 3 ^{2}$ ∴ $b ^{2} = 25 - 9 = 16$ ∴ $a ^{2} + b ^{2} = 5 ^{2} + 16 = 41$

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