미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원 공통현 극한

문제

22 이상의 자연수 nn에 대하여 좌표평면 위의 두 원 C1:C _{1} :x2+y2=(n−1)2x ^{2} + y ^{2} = ( n - 1 ) ^{2}, C2:C _{2} :(x−n)2+y2=n2( x - n ) ^{2} + y ^{2} = n ^{2} 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 할 때, lim⁡n→∞PnQn‾n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}}}{n}}의 값은? [4점] ①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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⑤

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해설

Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}

원 C1C _{1}, C2C _{2}의 중심을 각각 O1\mathrm{O} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}라 하자. 점 O2\mathrm{O} _{2}에서 선분 O1Pn\mathrm{O} _{1} P _{\mathit{n}}에 내린 수선의 발을 Hn\mathrm{H} _{\mathit{n}}, 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}에서 선분 O1O2\mathrm{O} _{1} O _{2}에 내린 수선의 발을 Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}}이라 하자.

Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}} Hn\mathrm{H} _{\mathit{n}} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}

삼각형 O2PnO1\mathrm{O} _{2} P _{\mathit{n}} O _{1}이 이등변삼각형이므로 PnHn‾=n−12\displaystyle {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}}}} = \frac{n - 1}{2} 직각삼각형 PnHnO2\mathrm{P} _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}} O _{\mathit{2}}에서 O2Hn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{2} H _{\mathit{n}}}}=n2−(n−12)2\displaystyle = \sqrt{n ^{2} - \left( \frac{n - 1}{2} \right) ^{2}}=3n2+2n−12\displaystyle = \frac{\sqrt{3 n ^{2} + 2 n - 1}}{2} 삼각형 O2PnO1\mathrm{O} _{2} P _{\mathit{n}} O _{1}의 넓이는 12×PnO1‾×O2Hn‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} O _{1}}} \times {\overline{\mathrm{O} _{2} H _{\mathit{n}}}}=12×O1O2‾×PnMn‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{O} _{1} O _{2}}} \times {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}}}}이므로 12×(n−1)×3n2+2n−12\displaystyle \frac{1}{2} \times ( n - 1 ) \times \frac{\sqrt{3 n ^{2} + 2 n - 1}}{2}=12×n×PnMn‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times n \times {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}}}} PnMn‾=(n−1)3n2+2n−12n\displaystyle {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}}}} = \frac{( n - 1 ) \sqrt{3 n ^{2} + 2 n - 1}}{2 n} PnQn‾=2PnMn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}} = 2 {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}}}}이므로 lim⁡n→∞PnQn‾n\displaystyle \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}}}{n}}=lim⁡n→∞(n−1)3n2+2n−1n2\displaystyle = \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\frac{( n - 1 ) \sqrt{3 n ^{2} + 2 n - 1}}{n ^{2}}}=3\displaystyle = \sqrt{3}

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