두 타원의 장축 곱

타원 $C _{1}$의 장축의 길이를 $2 a$, 타원 $C _{2}$의 장축의 길이를 $2 a'$이라 하자. 점 ${\mathrm{R}}$은 타원 $C _{1}$ 위의 점이므로 타원의 정의에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RF}}} + {\overline{\mathrm{RF'}}} = 2 a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{R}}$은 타원 $C _{2}$ 위의 점이므로 타원의 정의에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RP}}} + {\overline{\mathrm{RF}}} = 2 a'$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 주어진 조건은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F' R}}} - {\overline{\mathrm{PR}}} = 7 \sqrt{2}$ $\displaystyle \left( 2 a - {\overline{\mathrm{RF}}} \right) - \left( 2 a' - {\overline{\mathrm{RF}}} \right) = 7 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 a - 2 a' = 7 \sqrt{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 한편, 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표를 $\left( {p} , 6 \right)$ (${p} > 0$)이라 하면 점 ${\mathrm{P}}$는 타원 $C _{1}$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF'}}} = 2 a$ 점 ${\mathrm{F}}$의 좌표는 $\left( 0 , 6 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = p$ 점 ${\mathrm{F'}}$의 좌표는 $\left( 0 , - 6 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF'}}} = \sqrt{\left( {p} - 0 \right) ^{2} + \left\{ 6 - \left( - 6 \right) \right\} ^{2}} = \sqrt{{p} ^{2} + 144}$ $\displaystyle \therefore {p} + \sqrt{{p} ^{2} + 144} = 2 a$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ 타원 $C _{2}$는 두 점 ${\mathrm{P}} \left( {p} , 6 \right)$, ${\mathrm{F}} \left( 0 , 6 \right)$이 초점이므로 중심은 두 초점의 중점인 $\displaystyle \left( \frac{{p}}{2} , 6 \right)$이다. 선분 ${\mathrm{PF'}}$을 포함하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y - \left( - 6 \right) = \frac{6 - \left( - 6 \right)}{{p} - 0} \left( x - 0 \right)$ $\displaystyle y = \frac{12}{{p}} x - 6$ 이 직선의 $x$절편은 $y = 0$일 때이므로 $\displaystyle 0 = \frac{12}{{p}} x - 6$, $\displaystyle x = \frac{{p}}{2}$ 즉, 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{x _{p}}{2} , 0 \right)$이다. 점 ${\mathrm{Q}}$는 타원 $C _{2}$의 꼭짓점이고, 타원 $C _{2}$의 중심은 $\displaystyle \left( \frac{x _{p}}{2} , 6 \right)$이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 단축의 꼭짓점이다. 따라서 타원 $C _{2}$의 단축의 길이를 $2 b'$이라 하면 $b'$은 중심 $\displaystyle \left( \frac{x _{p}}{2} , 6 \right)$과 점 $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \frac{x _{p}}{2} , 0 \right)$ 사이의 거리이므로 $b' = 6$ 타원 $C _{2}$의 두 초점 사이의 거리를 $2 c'$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {p}$이므로 $2 c' = {p}$, $\displaystyle c' = \frac{{p}}{2}$ 타원 $C _{2}$에서 $\left( a' \right) ^{2} = \left( b' \right) ^{2} + \left( c' \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle \left( a' \right) ^{2} = 6 ^{2} + \left( \frac{{p}}{2} \right) ^{2} = 36 + \frac{{p} ^{2}}{4}$ $4 \left( a' \right) ^{2} = 144 + {p} ^{2}$, $\displaystyle 2 a' = \sqrt{144 + {p} ^{2}}$ ㉣에서 $\displaystyle \sqrt{{p} ^{2} + 144} = 2 a - {p}$이므로 $2 a' = 2 a - {p}$, $2 a - 2 a' = {p}$ 이 식을 ㉢에 대입하면 $\displaystyle {p} = 7 \sqrt{2}$ 따라서 두 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle 2 a' = \sqrt{144 + {p} ^{2}} = \sqrt{144 + 98} = 11 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 a = 2 a' + 7 \sqrt{2} = 11 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}$ 이므로 구하는 값은 $\displaystyle 2 a \times 2 a' = 18 \sqrt{2} \times 11 \sqrt{2} = 396$