두 타원의 교점

$\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{FF} \mathit{'} \mathrm{A} \right) = \frac{12}{13}$이므로 양의 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{A}}} = 13 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{F}}} = 12 a$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = 5 a$ 타원 $C _{1}$의 장축의 길이가 $\mathrm{18}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} + {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{A}}} = 18$ $13 a + 5 a = 18$, $18 a = 18$, $a = 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = 5 a = 5$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = \frac{18 - 12 a}{2} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{FA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{FP}}} ^{2}} = \sqrt{5 ^{2} + 3 ^{2}} = \sqrt{34}$ 타원 $C _{2}$의 장축의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{FP}}} = \sqrt{34} + 3$ 점 ${\mathrm{Q}}$는 타원 $C _{1}$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} = 18$ 점 ${\mathrm{Q}}$는 타원 $C _{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} = \sqrt{34} + 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} - {\overline{\mathrm{AQ}}}$$\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} \right) - \left( {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} \right)$ $\displaystyle = 18 - \left( \sqrt{34} + 3 \right) = 15 - \sqrt{34}$