두 타원의 교점

[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 추론하기 ${\mathrm{A}} \mathit{(} a , 0 )$이라 하면 타원 $E _{1}$의 장축의 길이가 $2 a$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BF}} \mathit{'}} + \overline{{\mathrm{BF}}} = 2 a$ 타원 $E _{2}$가 $x$축과 만나는 점 중 ${\mathrm{F}} \mathit{'}$이 아닌 점을 ${\mathrm{C}}$라 하면 타원 $E _{2}$의 장축의 길이는 $\displaystyle \overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{C}}}$$\displaystyle = \overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{A}}} + \overline{{\mathrm{AC}}}$ $\displaystyle = \overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{A}}} + \overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{F}}}$ $= ( a + c ) + 2 c = a + 3 c$ 그러므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BF}}} + \overline{{\mathrm{BA}}} = a + 3 c$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF} \mathit{'}}} - {\overline{\mathrm{BA}}} = \left( {\overline{\mathrm{BF} \mathit{'}}} + {\overline{\mathrm{BF}}} \right) - \left( {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{\mathrm{BA}}} \right) = a - 3 c$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF} \mathit{'}}} = a + c$이므로 $\displaystyle a - 3 c = \frac{1}{5} \left( a + c \right)$에서 $a = 4 c$ 선분 $\mathrm{FA}$의 중점을 $\mathrm{O} \mathit{'}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{O} \mathit{'} \left( \frac{5}{2} c , 0 \right)$이고 타원 $E _{2}$의 단축의 길이가 $\displaystyle 4 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{F} \mathit{'}}} ^{2} - \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{F}}} ^{2}$ $\displaystyle \left( \frac{7}{2} c \right) ^{2} - 12 = \left( \frac{3}{2} c \right) ^{2}$에서 $\displaystyle c ^{2} = \frac{6}{5}$ 따라서 $30 \times c ^{2} = 36$