두 타원과 등차수열

두 타원의 장축의 길이가 각각 $\mathrm{8}$, $\mathrm{12}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = t$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} = 8 - t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 12 - t$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}}$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle 2 {\overline{\mathrm{FQ}}} = {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}}$, $2 t = \left( 8 - t \right) + \left( 12 - t \right)$, $t = 5$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 5$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 7$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 5$이므로 삼각형 $\mathrm{QFF} \mathit{'}$은 $\displaystyle \angle \mathrm{QF} \mathit{'} \mathrm{F} = \frac{\mathit{\pi}}{2}$인 직각삼각형이다. 직각삼각형 $\mathrm{PQF} \mathit{'}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} ^{2} = 7 ^{2} - 3 ^{2} = 40$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 2 \sqrt{10}$ 원점을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle a = {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} - {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{O}}} = - 2 + 2 \sqrt{10}$ 따라서 $p = - 2$, $q = 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 8$