두 타원과 초점

타원 $\displaystyle C _{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y ^{2} = 1$에서 장축의 길이는 $2 a$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{GP}} = \overline{PF}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GP}} + \overline{PF'} = 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \overline{PF'} = 2 \sqrt{2}$ 즉 $\displaystyle 2 a = 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle C _{1} : \frac{x ^{2}}{2} + y ^{2} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 따라서 타원 $C _{1}$의 초점의 좌표는 $\mathrm{F} \left( 1 , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( - 1 , 0 \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{GP}} = \overline{PF}$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고 ㉠에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = 1$, $\displaystyle y ^{2} = \frac{7}{8}$, $\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 양수이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{14}}{4} \right)$ 이때 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 선분 $\mathrm{FG}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{G} \left( 0 , \frac{\sqrt{14}}{2} \right)$

한편 타원 $C _{2}$의 두 꼭짓점이 $\displaystyle \left( \sqrt{2} , 0 \right)$, $\displaystyle \left( - \sqrt{2} , 0 \right)$이고 한 초점이 $\mathrm{G}$이므로 타원 $C _{2}$의 장축의 길이를 $2 b$라 하면 $b ^{2}$$\displaystyle = \left( \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{14}}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = 2 + \frac{14}{4}$$\displaystyle = \frac{22}{4}$, $\displaystyle b = \frac{\sqrt{22}}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QG}} + \overline{\mathrm{QG'}} \mathit{=} 2 b = \sqrt{22}$