두 타원

[출제의도] 타원의 초점과 장축의 길이를 이용하여 조건을 만족시키는 타원의 방정식을 구할 수 있는가 타원 $C$의 장축의 길이가 $24$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' P}} = \mathrm{\overline{F' F}} = 12 - \left( - 4 \right) = 16$이므로 타원의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} + \overline{F' P}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FP}} + 16 = 24$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} = 8$ 점 $\mathrm{F}' \left( - 4 , 0 \right)$이 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 한 초점이고 이 타원의 중심은 원점이므로 나머지 한 초점은 $\mathrm{A} \left( 4 , 0 \right)$이다. 또한, 타원의 방정식에서 $a ^{2} - b ^{2} = 4 ^{2} = 16$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F}' P$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} = 8$ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} : \overline{FF'}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{QF'}} : \overline{PF'}$이므로 삼각형 $\mathrm{QF}' A$와 삼각형 $\mathrm{PF}' F$는 닮음비가 $1 : 2$인 닮은 도형이다. 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} : \overline{PF} = 1 : 2$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 8$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} = 4$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} + \mathrm{\overline{QA}} = 8 + 4 = 12$이므로 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 장축의 길이는 $12$이다. $2 a = 12$에서 $a = 6$이므로 $a ^{2} = 36$ ㉠에 대입하면 $b ^{2} = 20$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \mathit{a} ^{2} + b ^{2} = 8 + 36 + 20 = 64$