대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 수열 중 작은 값의 합

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 모두 11이고 an+1=3ana _{n + 1} = 3 a _{n}, bn+1=(n+1)bnb _{n + 1} = \left( n + 1 \right) b _{n}(n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 을 만족시킨다. 수열 {cn}\left\{ c _{n} \right\}을 cn={an(an<bn)bn(an≥bn)\displaystyle c _{n} = \begin{cases} a _{n} & ( a _{n} < b _{n} ) \\ b _{n} & ( a _{n} \geq b _{n} ) \end{cases} 이라 할 때, ∑n=1502cn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{50} 2 c _{n}의 값은? [4점] ①350−203 ^{50} - 20②350−193 ^{50} - 19③350−153 ^{50} - 15④350−113 ^{50} - 11⑤350−73 ^{50} - 7

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③

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해설

an=3n−1a _{n} = 3 ^{n - 1}, bn=n(n−1)⋅⋯⋅2⋅1=n!b _{n} = n ( n - 1 ) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1 = n ! 1≤n≤41 \leq n \leq 4 일 때 an≥bna _{n} \geq b _{n}이므로 cn=bnc _{n} = b _{n} n≥5n \geq 5일 때 an<bna _{n} < b _{n}이므로 cn=anc _{n} = a _{n}

nn1122334455⋯\cdots
ana _{n}11339927278181⋯\cdots
bnb _{n}1122662424120120⋯\cdots
cnc _{n}11226624248181⋯\cdots

∴∑n=1502cn=2(∑n=14n!+∑n=5503n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{50} 2 c _{n} = 2 \left( \sum\limits _{n = 1} ^{4} n ! + \sum\limits _{n = 5} ^{50} 3 ^{n - 1} \right) =2{1+2+6+24+34(346−1)3−1}\displaystyle = 2 \left\{ 1 + 2 + 6 + 24 + \frac{3 ^{4} ( 3 ^{46} - 1 )}{3 - 1} \right\} =350−15= 3 ^{50} - 15

태그

#등비수열의 합#계승#대소 비교

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