확률과 통계통계적 추정AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 신뢰구간의 길이의 차로 표본의 크기 구하기

문제

어느 제과점에서 만드는 빵 한 개의 무게는 표준편차가 66 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과점의 빵 nn개를 임의추출하여 구한 무게의 평균 mm에 대한 신뢰도 9595%의 신뢰구간을 [a,b][ a , b ]라 하고, 빵 4n4 n개를 임의추출하여 구한 mm에 대한 신뢰도 9999%의 신뢰구간을 [c,d][ c , d ]라 하자. (b−a)−(d−c)=2.68( b - a ) - ( d - c ) = 2.68일 때, nn의 값은? (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(∣Z∣≤1.96)=0.95\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 1.96 ) = 0.95, P(∣Z∣≤2.58)=0.99\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 2.58 ) = 0.99로 계산한다.) [4점] ①44②99③1616④2525⑤3636

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②

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해설

표본의 크기가 nn일 때 신뢰도 9595%의 신뢰구간의 길이는 b−a=2×1.96×6n=23.52n\displaystyle b - a = 2 \times 1.96 \times \frac{6}{\sqrt{n}} = \frac{23.52}{\sqrt{n}} 표본의 크기가 4n4 n일 때 신뢰도 9999%의 신뢰구간의 길이는 d−c=2×2.58×64n=30.962n=15.48n\displaystyle d - c = 2 \times 2.58 \times \frac{6}{\sqrt{4 n}} = \frac{30.96}{2 \sqrt{n}} = \frac{15.48}{\sqrt{n}} (b−a)−(d−c)=23.52−15.48n=8.04n=2.68\displaystyle ( b - a ) - ( d - c ) = \frac{23.52 - 15.48}{\sqrt{n}} = \frac{8.04}{\sqrt{n}} = 2.68에서 n=3\displaystyle \sqrt{n} = 3 따라서 n=9n = 9이다. ②

태그

#통계적 추정#신뢰구간의 길이#표본의 크기#실생활

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