확률과 통계통계적 추정AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 신뢰도의 신뢰구간에서 표본평균과 표본의 크기 구하기

문제

어느 공장에서 생산하는 철근의 길이는 표준편차가 $15$ mm인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 철근 $n$ 개를 임의추출하여 구한 길이의 표본평균을 $\displaystyle \overline{x}$ mm라 하자. 이를 이용하여 구한 이 공장에서 생산하는 철근의 길이의 평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $95$ %의 신뢰구간이 $[ a , 205.88 ]$ 이고, 신뢰도 $99$ %의 신뢰구간이 $[ c , 207.74 ]$ 일 때, $\displaystyle \overline{x} + n$ 의 값을 구하시오. (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 1.96 ) = 0.95$ , $\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 2.58 ) = 0.99$ 로 계산한다.) [4점]

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225

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해설

신뢰도 $95$ %의 신뢰구간의 오른쪽 끝값에서 $\displaystyle \overline{x} + 1.96 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 205.88$ …… ㉠ 신뢰도 $99$ %의 신뢰구간의 오른쪽 끝값에서 $\displaystyle \overline{x} + 2.58 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 207.74$ …… ㉡㉡ $-$ ㉠을 하면 $\displaystyle 0.62 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 1.86$ 에서 $\displaystyle \frac{15}{\sqrt{n}} = 3$ $\displaystyle \sqrt{n} = 5$ 이므로 $n = 25$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle \overline{x} + 1.96 \times 3 = 205.88$ 에서 $\displaystyle \overline{x} = 200$ 따라서 $\displaystyle \overline{x} + n = 200 + 25 = 225$ 이다.

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