두 실근 비 1:2

[출제의도] 지수방정식 이해하기 방정식 $3 ^{2 x} - k \cdot 3 ^{x + 1} + 3 k + 15 = 0$의 두 실근을 $\alpha , 2 \alpha$라 하자. $3 ^{x} = t ( t > 0 )$라 하면 $t ^{2} - 3 k t + 3 k + 15 = 0$의 두 실근은 $3 ^{\alpha} , 3 ^{2 \alpha}$ 따라서 근과 계수와의 관계에 의해서

㉠과 ㉡에 의하여 $\left( 3 ^{\alpha} \right) ^{3} = 3 ^{\alpha} + \left( 3 ^{\alpha} \right) ^{2} + 15$ $3 ^{\alpha} = s ( s > 0 )$라 하면 $s ^{3} - s ^{2} - s - 15 = 0$ $\left( s - 3 \right) \left( s ^{2} + 2 s + 5 \right) = 0$이므로 $s = 3 ^{\alpha} = 3$ $\begin{aligned} 3 k & = 3 ^{\alpha} + \left( 3 ^{\alpha} \right) ^{2} = 3 + 3 ^{2} = 12 \end{aligned}$ $\therefore k = 4$