두 사람 달리기 각의 변화율

지점 $O$로부터 갑이 출발한 지 $t$초가 지난 후 갑과 을의 위치를 각각 $A , B$라 하면 $\displaystyle \overline{OA} = 3 t , \overline{OB} = 4 ( t - 10 )$이다.

따라서 위의 그림에서 $\displaystyle \overline{BC} = 7 t - 40$, $\displaystyle \overline{AC} = 40$이므로 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac{7 t - 40}{40} \cdots \cdots \text{㉠}$ 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \sec ^{2} \theta \frac{d \theta}{dt} = \frac{7}{40}$ $\displaystyle \therefore \frac{d \theta}{dt} = \frac{7}{40} \cdot \frac{1}{\sec ^{2} \theta}$$\displaystyle = \frac{7}{40} \cdot \frac{1}{1 + \tan ^{2} \theta} \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠에 $t = 20$을 대입하면 $\displaystyle \tan \theta = \frac{5}{2}$이므로 이를 ㉡에 대입하면 $\displaystyle \frac{d \theta}{dt} = \frac{7}{40} \cdot \frac{1}{1 + \frac{25}{4}} = \frac{7}{40} \cdot \frac{4}{29} = \frac{7}{290}$ (라디안/초)