미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 삼각형 넓이비 극한

문제

그림과 같이 두 곡선 y=x2−xy = x ^{2} - x, y=2x+1−1\displaystyle y = \sqrt{2 x + 1} - 1이 직선 x=tx = t (0<t<10 < t < 1) 와 만나는 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 하고, 직선 x=tx = t가 xx축과 만나는 점을 H\mathrm{H}라 하자. 원점 O\mathrm{O}에 대하여 두 삼각형 OPH\mathrm{OPH}, OHQ\mathrm{OHQ}의 넓이를 각각 A(t)A \left( t \right), B(t)B \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→0+B(t)A(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{B \left( t \right)}{A \left( t \right)}}의 값은? [3점]

y=2x+1−1\displaystyle y = \sqrt{2 x + 1} - 1 y=x2−xy = x ^{2} - x

①11②54\displaystyle \frac{5}{4}③32\displaystyle \frac{3}{2}④74\displaystyle \frac{7}{4}⑤22

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극한 추론하기 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 좌표가 P(t,t2−t)\mathrm{P} \left( \mathit{t} , t ^{2} - t \right), Q(t,2t+1−1)\displaystyle \mathrm{Q} \left( \mathit{t} , \sqrt{2 t + 1} - 1 \right)이므로 A(t)=12t∣t2−t∣\displaystyle A \left( t \right) = \frac{1}{2} t \left| t ^{2} - t \right|, B(t)=12t∣2t+1−1∣\displaystyle B \left( t \right) = \frac{1}{2} t \left| \sqrt{2 t + 1} - 1 \right| lim⁡t→0+B(t)A(t)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{B \left( t \right)}{A \left( t \right)}}=lim⁡t→0+t2∣2t+1−1∣t2∣t2−t∣\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{t}{2} \left| \sqrt{2 t + 1} - 1 \right|}{\frac{t}{2} \left| t ^{2} - t \right|}} =lim⁡t→0+2t+1−1t(1−t)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\sqrt{2 t + 1} - 1}{t \left( 1 - t \right)}} (∵0<t<1\because 0 < t < 1) =lim⁡t→0+2tt(1−t)(2t+1+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{2 t}{t \left( 1 - t \right) \left( \sqrt{2 t + 1} + 1 \right)}} =lim⁡t→0+2(1−t)(2t+1+1)=1\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{2}{\left( 1 - t \right) \left( \sqrt{2 t + 1} + 1 \right)}} = 1

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#함수의 극한#넓이#유리화

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