대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 삼각형 넓이 최대

문제

그림과 같이 AB‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 5, AC‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 4인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 꼭짓점 C\mathrm{C}에서 선분 AB\mathrm{A} B에 내린 수선의 발을 D\mathrm{D}라 할 때, 선분 CD\mathrm{CD}의 연장선 위에 DE‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = 3을 만족시키는 점 E\mathrm{E}를 잡는다. 두 삼각형 ABC\mathrm{ABC}, AED\mathrm{AED}의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}라 할 때, S1+S2S _{1} + S _{2}의 최댓값을 MM이라 하자. M2M ^{2}의 값을 구하시오. (단, 각 CAB\mathrm{C} AB는 예각이다.) [4점]

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136

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해설

∠CAB=θ\angle \mathrm{CAB} = \theta라 하면 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이고 S1=12⋅5⋅4sin⁡θ\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \sin \theta, S2=12⋅3⋅4cos⁡θ\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cos \theta S1+S2=10sin⁡θ+6cos⁡θS _{1} + S _{2} = 10 \sin \theta + 6 \cos \theta=136sin⁡(θ+α)\displaystyle = \sqrt{136} \sin \left( \theta + \alpha \right) (cos⁡α=10136\displaystyle \left( \cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{136}} \right., sin⁡α=6136)\displaystyle \sin \alpha = \frac{6}{\sqrt{136}} ) 따라서 S1+S2S _{1} + S _{2}의 최댓값은 136\displaystyle \sqrt{136}이다. ∴\therefore M2=136M ^{2} = 136

태그

#삼각형 넓이#삼각함수 합성

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