두 로그곡선 보기

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제 증명하기

ㄱ. 곡선 $y = \log _{a} x$와 직선 $y = 2$가 점 $\mathrm{A}$에서 만나므로 $\log _{a} x = 2$이고 $x = a ^{2}$이다. (참) ㄴ. $\mathrm{A} \mathit{\left( a ^{2} , 2 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( a ^{2} , \log _{a + 2} a ^{2} \right)}$에서 $1$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}}$$= 2 - \log _{a + 2} a ^{2}$이므로 $\log _{a + 2} a ^{2} = 1$이다. $a + 2 = a ^{2}$, $a ^{2} - a - 2 = 0$에서 $a = \mathit{-} 1$ 또는 $a = 2$이고 $a > 1$이므로 $a = 2$이다. (참) ㄷ. $\mathrm{A} \mathit{\left( a ^{2} , 2 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( \left( a + 2 \right) ^{2} , 2 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( a ^{2} , \log _{a + 2} a ^{2} \right)}$, $\mathrm{D} \mathit{\left( \left( a + 2 \right) ^{2} , \log _{a} \left( a + 2 \right) ^{2} \right)}$에서 $\log _{a} \left( a + 2 \right) = t$라 하면 $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BD}}}}{\frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{{\overline{\mathrm{AC}}}}$$\displaystyle = \frac{2 \log _{a} \left( a + 2 \right) - 2}{2 - 2 \log _{a + 2} a}$ $\displaystyle = \frac{\log _{a} \left( a + 2 \right) - 1}{1 - \log _{a + 2} a}$$\displaystyle = \frac{t - 1}{1 - \frac{1}{t}}$$\displaystyle = \frac{t \left( t - 1 \right)}{\left( t - 1 \right)}$$= t$ $=$$\log _{a} \left( a + 2 \right)$ (참)