기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 평면의 각

문제

두 평면 x+2y−z=0\displaystyle x + \sqrt{2} y - z = 0, z=0z = 0이 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, sin⁡θ\sin \theta의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 평면의 방정식의 성질을 이해하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구한다. 두 평면의 법선 벡터를 각각 (1,2,−1)\displaystyle \left( 1 , \sqrt{2} , - 1 \right), (0,0,1)\left( 0 , 0 , 1 \right)이라 하면 두 평면이 이루는 각의 크기 θ\theta에 대하여 cos⁡θ\cos \theta=∣(1,2,−1)∙(0,0,1)∣12+(2)2+(−1)202+02+12\displaystyle = \frac{\left| \left( 1 , \sqrt{2} , - 1 \right) \bullet \left( 0 , 0 , 1 \right) \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( \sqrt{2} \right) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} \sqrt{0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}}}=∣−1∣2=12\displaystyle = \frac{\left| - 1 \right|}{2} = \frac{1}{2} 따라서 sin⁡θ=1−cos⁡2θ=32\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}

태그

#평면의 방정식#법선벡터

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