두 평면이 이루는 각

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \mathit{=} 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \mathit{=} 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} \mathit{=} 3$인 직육면체 $\mathrm{ABCD} - EFGH$에 대하여, 점 $\mathrm{I}$가 선분 $\mathrm{CG}$를 $2 : 1$로 내분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CI}} \mathit{=} 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \mathit{=} \sqrt{5}$이고 점 $\mathrm{I}$에서 선분 $\mathrm{BD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{HI}} \mathit{\perp} \mathrm{\overline{HC}}$ 또한 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} \mathit{\times} \mathrm{\overline{BD}} \mathit{=} \mathrm{\overline{CB}} \mathit{\times} \mathrm{\overline{CD}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} \mathit{=} \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{ICH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{H I}} \mathit{=} \sqrt{2 ^{2} + \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} \right) ^{2}} = \frac{2 \sqrt{30}}{5}$ 평면 $\mathrm{BID}$와 평면 $\mathrm{EFGH}$가 이루는 예각의 크기는 평면 $\mathrm{BID}$와 평면 $\mathrm{ABCD}$가 이루는 예각의 크기와 같으므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathrm{\overline{HC}}}{\mathrm{\overline{H I}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{6}$