두 평면으로의 정사영

[출제의도] 정사영을 이해하고 최댓값을 구할 수 있는가?

두 평면 $y = 4$와 $\displaystyle y + \sqrt{3} z + 8 = 0$의 법선벡터를 각각 $\vec{h _{1}} , \vec{h _{2}}$라 하면 두 평면이 이루는 예각의 크기 $\gamma$는 $\displaystyle \cos \gamma = \frac{\left| \vec{h _{1}} \bullet \vec{h _{2}} \right|}{\left| \vec{h _{1}} \right| \left| \vec{h _{2}} \right|} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \gamma = \frac{\pi}{3}$ 따라서 벡터 $\vec{PQ}$와 벡터 $\vec{P _{1} Q _{1}}$이 이루는 예각의 크기를 $\alpha$, 벡터 $\vec{PQ}$와 벡터 $\vec{P _{2} Q _{2}}$이 이루는 예각의 크기를 $\beta$라 하면 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$또는 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2 \pi}{3}$ 이다. 그러므로 $2 \left| \vec{PQ} \right| ^{2} - \left| \vec{P _{1} Q _{1}} \right| ^{2} - \left| \vec{P _{2} Q _{2}} \right| ^{2} = \left( \left| \vec{PQ} \right| ^{2} - \left| \vec{P _{1} Q _{1}} \right| ^{2} \right) + \left( \left| \vec{PQ} \right| ^{2} - \left| \vec{P _{2} Q _{2}} \right| ^{2} \right)$ $= \left| \vec{PQ} \right| ^{2} ( 1 - \cos ^{2} \alpha + 1 - \cos ^{2} \beta ) = \left| \vec{PQ} \right| ^{2} ( \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta )$ 주어진 식은 $\left| \vec{PQ} \right|$의 값이 최대이고 $\sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta$의 값이 최대일 때 최댓값을 갖는다. ㄱ) $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$인 경우 $\displaystyle \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta = \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} ( \frac{\pi}{3} - \alpha )$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2} \sin \left( 2 \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$ 이므로 주어진 식은 $\left| \vec{PQ} \right| = 4$이고 $\displaystyle \sin \left( 2 \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$가 $- 1$일 때 최댓값 $24$를 갖는다. ㄴ) $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2 \pi}{3}$인 경우도 마찬가지이다. 그러므로 최댓값은 24이다.