기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 평면 위의 원과 정사영

문제

그림과 같이 서로 다른 두 평면 α\alpha, β\beta의 교선 위에 AB‾=18\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 18인 두 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}가 있다. 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 원 C1C _{1}이 평면 α\alpha 위에 있고, 선분 AB{\mathrm{AB}}를 장축으로 하고 두 점 F{\mathrm{F}}, F′{\mathrm{F}} \mathit{'}을 초점으로 하는 타원 C2C _{2}가 평면 β\beta 위에 있다. 원 C1C _{1} 위의 한 점 P{\mathrm{P}}에서 평면 β\beta에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 할 때, HF′‾<HF‾\displaystyle \overline{{\mathrm{HF}} \mathit{'}} < \overline{{\mathrm{HF}}}이고 ∠HFF′=π6\displaystyle \angle {\mathrm{HFF}} \mathit{'} = \frac{\pi}{6}이다. 직선 HF{\mathrm{HF}}와 타원 C2C _{2}가 만나는 점 중 점 H{\mathrm{H}}와 가까운 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하면, FH‾<FQ‾\displaystyle \overline{{\mathrm{FH}}} < \overline{{\mathrm{FQ}}}이다. 점 H{\mathrm{H}}를 중심으로 하고 점 Q{\mathrm{Q}}를 지나는 평면 β\beta 위의 원은 반지름의 길이가 4\mathrm{4}이고 직선 AB{\mathrm{AB}}에 접한다. 두 평면 α\alpha, β\beta가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? (단, 점 P{\mathrm{P}}는 평면 β\beta 위에 있지 않다.) [4점]

①26633\displaystyle \frac{2 \sqrt{66}}{33}②46969\displaystyle \frac{4 \sqrt{69}}{69}③23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}④4315\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{15}⑤27839\displaystyle \frac{2 \sqrt{78}}{39}

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⑤

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해설

선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 점 O\mathrm{O}라 하면 점 O\mathrm{O}는 타원의 중심이다. 수선의 발 H\mathrm{H}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 수선을 내려 그 수선의 발을 점 H′\mathrm{H}'이라 하자. 평면 β\mathrm{\beta}를 그려 보면 아래와 같다.

∠PFF′=π6\displaystyle \mathrm{\angle} PFF' = \frac{\pi}{6}이고 HH‾′\displaystyle \mathrm{\overline{HH}}'=4= 4이므로 FH‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = 8, FH′‾=43\displaystyle \mathrm{\overline{FH'}} = 4 \sqrt{3} ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 세 점 F\mathrm{F}, H\mathrm{H}, Q\mathrm{Q}가 일직선 위에 있으므로 FQ‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} = 12 점 Q\mathrm{Q}가 타원 위에 있으므로 타원의 정의에 의해 FQ‾+F′Q‾=18\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} + {\overline{F' Q}} = 18 ∴\therefore F′Q‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} = 6 F′Q‾FQ‾=612=sin⁡π6\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{F' Q}}}}{{\overline{FQ}}} = \frac{6}{12} = \sin \frac{\pi}{6}이므로 선분 QF′\mathrm{QF}'와 선분 AB\mathrm{AB}는 수직이다. ∴\therefore FF′‾=12cos⁡π6=63\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 12 \cos \frac{\pi}{6} = 6 \sqrt{3}, OF‾=33\displaystyle \mathrm{\overline{OF}} = 3 \sqrt{3} ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 OH′‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OH'}} = \sqrt{3} ⋯⋯\cdots \cdots ㉢ 평면 α\alpha와 β\beta에서 PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}는 평면 β\beta에 수직이고, 선분 HH′\mathrm{HH}'는 두 평면의 교선인 선분 AB\mathrm{AB}에 수직이므로 선분 PH′\mathrm{PH}'와 선분 AB\mathrm{AB}는 수직이다. 이제 두 평면 α\alpha와 β\beta가 이루는 각 θ\theta는 ∠PH′H\mathrm{\angle} PH' H와 같다. 평면 α\alpha를 그려 보면 아래와 같다.

반원 O\mathrm{O}에서 OP‾=9\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 9이고, ㉢에서 OH′‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OH'}} = \sqrt{3}이므로 PH′‾=81−3=78\displaystyle \mathrm{\overline{PH'}} = \sqrt{81 - 3} = \sqrt{78} ∴\therefore cos⁡θ=478=27839\displaystyle \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{78}} = \frac{2 \sqrt{78}}{39}

태그

#정사영#이면각

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