기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 평면 이루는 각

문제

그림은 모든 모서리의 길이가 22인 정삼각기둥 ABC−DEF\mathrm{ABC} - DEF의 밑면 ABC\mathrm{A} BC와 모든 모서리의 길이가 22인 정사면체 OABC\mathrm{OABC}의 밑면 ABC\mathrm{A} BC를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 OB\mathrm{OB}, BE\mathrm{BE}의 중점을 각각 M\mathrm{M}, N\mathrm{N}이라 하고, 두 평면 MCA\mathrm{MCA}, NCA\mathrm{NCA}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? [4점]

①32−236\displaystyle \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6}②22−36\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}③32−36\displaystyle \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}④2+36\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}⑤22+36\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수 덧셈정리를 이용하여 이면각의 크기 구하는 문제를 해결한다. 점 M\mathrm{M}에서 모서리 AC\mathrm{A} C에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때, 주어진 도형을 평면 OBH\mathrm{OBH}로 자른 단면은 그림과 같다. MB‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{MB}} = 1, HB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{HB}} = \sqrt{3} HM‾=(3)2−1=2\displaystyle \mathrm{\overline{HM}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^{2} - 1} = \sqrt{2}, HN‾=(3)2+1=2\displaystyle \mathrm{\overline{HN}} = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^{2} + 1} = 2 cos⁡θ1=HM‾BH‾=23=63\displaystyle \cos \theta _{1} = \frac{\mathrm{\overline{HM}}}{\mathrm{\overline{BH}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}, cos⁡θ2=BH‾HN‾=32\displaystyle \cos \theta _{2} = \frac{\mathrm{\overline{BH}}}{\mathrm{\overline{HN}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}이므로 cos⁡(θ1+θ2)\cos ( \theta _{1} + \theta _{2} ) =cos⁡θ1cos⁡θ2−sin⁡θ1sin⁡θ2= \cos \theta _{1} \cos \theta _{2} - \sin \theta _{1} \sin \theta _{2} =63×32−33×12\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{2} =32−36\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}

태그

#이면각#정사면체

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