두 포물선의 교점

$\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = \sqrt{\left( 3 a \right) ^{2} + \left( 4 a \right) ^{2}} = 5 a$이고 점 ${\mathrm{O}}$와 두 직선 $x = - 5 a$, $y = - 5 a$ 사이의 거리가 모두 $5 a$이므로 점 ${\mathrm{O}}$는 두 포물선 $C _{1}$, $C _{2}$가 만나는 점이다. 점 ${\mathrm{O}}$가 점 ${\mathrm{A}}$이면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 6$을 만족시키지 않으므로 점 ${\mathrm{O}}$는 점 ${\mathrm{B}}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{OF}}} = 5 a$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 두 직선 $x = - 5 a$, $y = - 5 a$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{H}} _{1}$, ${\mathrm{H}} _{2}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} = {\overline{{\mathrm{AH}} _{2}}}$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}} _{3}$, ${\mathrm{H}} _{4}$라 하면 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AH}} _{3}}} = {\overline{{\mathrm{AH}} _{4}}} = {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} - 5 a$

그러므로 사각형 ${\mathrm{AH}} _{4} {\mathrm{OH}} _{3}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} - 5 a$인 정사각형이다. 이때 선분 ${\mathrm{OA}}$는 정사각형 ${\mathrm{AH}} _{4} {\mathrm{OH}} _{3}$의 대각선이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = \sqrt{2} \left( {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} - 5 a \right) = 6$에서 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} = 3 \sqrt{2} + 5 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{{\mathrm{AH}} _{1}}} = 3 \sqrt{2} + 5 a$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} - {\overline{\mathrm{BF}}} = \left( 3 \sqrt{2} + 5 a \right) - 5 a = 3 \sqrt{2}$