두 포물선의 교점

점 ${\mathrm{P}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{M}}$, 선분 ${\mathrm{QH}}$와 $x$축의 교점을 ${\mathrm{N}}$이라 하자.

점 ${\mathrm{Q}}$가 포물선 $C _{2}$ 위의 점이므로 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{QH}}}$ 그러므로 삼각형 ${\mathrm{PHQ}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{QH}}} = 5 \sqrt{6}$인 이등변삼각형이다. 점 ${\mathrm{Q}}$에서 선분 ${\mathrm{PH}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{S}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = {\overline{\mathrm{HS}}} = 2 \sqrt{15}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QS}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{QH}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HS}}} ^{2} = \left( 5 \sqrt{6} \right) ^{2} - \left( 2 \sqrt{15} \right) ^{2} = 90$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QS}}} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}$ 삼각형 ${\mathrm{QPH}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PH}}} \times {\overline{\mathrm{QS}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{QH}}} \times {\overline{\mathrm{MN}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{15} \times 3 \sqrt{10} = \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{6} \times {\overline{\mathrm{MN}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} = 12$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 삼각형 ${\mathrm{PMS}}$, ${\mathrm{HN}}$에서 $\displaystyle \angle {\mathrm{PMS}} = \angle {\mathrm{HNS}} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = {\overline{\mathrm{HS}}}$, $\angle {\mathrm{PSM}} = \angle {\mathrm{HSN}}$이므로 두 삼각형 ${\mathrm{PMS}}$, ${\mathrm{HNS}}$는 서로 합동이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{MS}}} = {\overline{\mathrm{NS}}} = 6$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} = {\overline{\mathrm{HS}}} = 2 \sqrt{15}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{PS}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{MS}}} ^{2} = \left( 2 \sqrt{15} \right) ^{2} - 6 ^{2} = 24$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} = {\overline{\mathrm{HN}}} = 2 \sqrt{6}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QN}}} = {\overline{\mathrm{QH}}} - {\overline{\mathrm{HN}}} = 5 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} = 3 \sqrt{6}$ 두 점 ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{N}}$의 $x$좌표를 각각 $x _{1}$, $x _{2}$라 하자. 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 포물선 $C _{1}$ 위의 점이므로 $24 = 4 px _{1}$, $54 = 4 px _{2}$에서 $\displaystyle x _{1} = \frac{6}{p}$, $\displaystyle x _{2} = \frac{27}{2 p}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle x _{2} - x _{1} = \frac{15}{2 p} = 12$에서 $\displaystyle p = \frac{5}{8}$ 포물선 $C _{1}$의 준선을 $l$이라 할 때, 점 ${\mathrm{P}}$에서 준선 $l$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{P}}'$이라 하자. 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{{\mathrm{PP}}'}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{{\mathrm{PP}}'}} = p + x _{1} = \frac{5}{8} + \frac{48}{5} = \frac{409}{40}$