기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 포물선의 초점과 꼭짓점

문제

그림과 같이 좌표평면에서 $x$ 축 위의 두 점 $A , B$ 에 대하여 꼭짓점이 $A$ 인 포물선 $p _{1}$ 과 꼭짓점이 $B$ 인 포물선 $p _{2}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, 삼각형 $ABC$ 의 넓이는? [4점]

(가) $p _{1}$ 의 초점은 $B$ 이고, $p _{2}$ 의 초점은 원점 $O$ 이다. (나) $p _{1}$ 과 $p _{2}$ 는 $y$ 축 위의 두 점 $C , D$ 에서 만난다. (다) $\displaystyle \overline{AB} = 2$

① $\displaystyle 4 \left( \sqrt{2} - 1 \right)$ ② $\displaystyle 3 \left( \sqrt{3} - 1 \right)$ ③ $\displaystyle 2 \left( \sqrt{5} - 1 \right)$ ④ $\displaystyle \sqrt{3} + 1$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{5} + 1$

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③

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해설

두 포물선 $p _{1} , p _{2}$ 의 준선을 각각 $l _{1} , l _{2}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{OB} = a$ 라 하면 포물선의 정의에 의해 그림과 같이 각각의 길이가 결정된다.

직각삼각형 $OBC$ 에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + \left( 2 a \right) ^{2}} = 4 - a$ $a ^{2} + 2 a - 4 = 0$ $\displaystyle \therefore a = - 1 + \sqrt{5} \left( \therefore a > 0 \right)$ 따라서 $\triangle ABC$ 의 넓이는 $\displaystyle \therefore \frac{1}{2} \times 2 \times 2 a = 2 a = 2 \left( \sqrt{5} - 1 \right)$

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