두 포물선과 사각형 둘레

[출제의도] 포물선의 정의와 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? 포물선 $y ^{2} = 8 x$의 초점은 $\mathrm{F} \left( 2 , 0 \right)$이고 준선의 방정식은 $x = - 2$이다. 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $a$($0 < a < 2$)라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{a} , 2 \sqrt{2 a} \right)$ $\displaystyle \mathrm{F}' \left( \mathit{-} 2 , 2 \sqrt{2 a} \right)$ 포물선의 성질에 의해 ${\vec{\mathrm{PF}}}$$=$$\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}}$$= 2 + a$ 한편, 점 $\mathrm{F}'$을 초점, 점 $\mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은 $\displaystyle \left( y - 2 \sqrt{2 a} \right) ^{2}$$= \mathit{-} 4 \left( 2 + a \right) \left( x - a \right)$ 이 포물선의 준선의 방정식은 $x$$= 2 a + 2$ 점 $\mathrm{Q}$에서 두 직선 $x$$= \mathit{-} 2$, $x$$= 2 a + 2$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R} , S$라 하면 포물선의 성질에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QR}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}'}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QS}}}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{QF}'}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QR}}} + {\overline{\mathrm{QS}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RS}}}$$= 2 a + 4$ 사각형 $\mathrm{PF}' QF$의 둘레의 길이가 $12$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} + {\overline{QF}} + {\overline{QF'}}$$= 12$에서 $\displaystyle 2 {\overline{\mathrm{PF}'}} + {\overline{\mathrm{RS}}}$$= 12$ $2 \left( 2 + a \right) + \left( 2 a + 4 \right)$$= 12$ $4 a$$= 4$ $a$$= 1$ 이때, $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 1 , 2 \sqrt{2} \right)$이고 점 $\mathrm{F}'$을 초점, 점 $\mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은 $\displaystyle \left( y - 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$$= \mathit{-} 12 \left( x - 1 \right)$ 이다. 두 포물선 $y ^{2}$$= 8 x$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \left( y - 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$$= \mathit{-} 12 \left( x - 1 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표를 구해 보자. ㉠에서 $x$$\displaystyle = \frac{y ^{2}}{8}$ $x$$\displaystyle = \frac{y ^{2}}{8}$을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle \left( y - 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} 12 \left( \frac{y ^{2}}{8} - 1 \right)$ $\displaystyle 5 y ^{2} - 8 \sqrt{2} y - 8$$= 0$ $\displaystyle \left( y - 2 \sqrt{2} \right) \left( 5 y + 2 \sqrt{2} \right)$$= 0$ $y$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ 또는 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{2 \sqrt{2}}{5}$ 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{2 \sqrt{2}}{5}$이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{PF}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}}$$= 2 - \left( - 1 \right)$$= 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QH}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} - \left( - \frac{2 \sqrt{2}}{5} \right)$$\displaystyle = \frac{12}{5} \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{PF}' Q$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PF}'}} \times {\overline{\mathrm{QH}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{12}{5} \sqrt{2}$$\displaystyle = \frac{18}{5} \sqrt{2}$ 따라서 $p$$= 5$, $q$$= 18$이므로 $p + q$$= 5 + 18$$= 23$