두 포물선과 사각형 둘레

[출제의도] 포물선의 정의를 활용하여 문제해결하기 포물선 $y ^{2} = 8 x$의 초점은 ${\mathrm{F}} \mathit{(} 2 , 0 )$이고 준선의 방정식은 $x = - 2$ 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $x = - 2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} \mathit{_{1}}$, 점 $\mathrm{Q}$에서 두 직선 $x = - 2$, $x = k$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} \mathit{_{2}}$, $\mathrm{H} \mathit{_{3}}$, 점 $\mathrm{R}$에서 두 직선 $x = - 2$, $x = k$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{H}} \mathit{_{4}}$, ${\mathrm{H}} \mathit{_{5}}$라 하자.

포물선 $C$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}} = \overline{{\mathrm{RH}} \mathit{_{5}}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} = \overline{{\mathrm{QH}} \mathit{_{3}}}$이고, 포물선 $y ^{2} = 8 x$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = {\overline{\mathrm{QH} \mathit{_{2}}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} = {\overline{\mathrm{RH} \mathit{_{4}}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{FR}}} = {\overline{\mathrm{RH} \mathit{_{5}}}} + {\overline{\mathrm{RH} \mathit{_{4}}}} = {\overline{\mathrm{H} \mathit{_{4}} \mathrm{H} \mathit{_{5}}}} = k + 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{QH} \mathit{_{2}}}} + {\overline{\mathrm{QH} \mathit{_{3}}}} = {\overline{\mathrm{H} \mathit{_{2}} \mathrm{H} \mathit{_{3}}}} = k + 2$ 사각형 $\mathrm{PRFQ}$의 둘레의 길이가 $\mathrm{18}$이므로 $\displaystyle 18 = {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{FR}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} = 2 \left( k + 2 \right)$에서 $k = 7$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} \mathit{\left( x _{1} , y _{1} \right)}$이라 하고, 직선 $x = 7$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{H} \mathit{_{6}}$이라 하자. 포물선 $C$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{\mathrm{FH}}} = 5$이고, 포물선 $y ^{2} = 8 x$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{\mathrm{PH} \mathit{_{1}}}} = x _{1} + 2$이므로 $x _{1} = 3$ 점 $\mathrm{P}$가 포물선 $y ^{2} = 8 x$ 위의 점이므로 $\displaystyle y _{1} = 2 \sqrt{6}$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{T}}$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PT}}} = 2 \sqrt{6}$이고 삼각형 ${\mathrm{OFP}}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OF}}} \times \overline{{\mathrm{PT}}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{6} = 2 \sqrt{6}$ 따라서 $S ^{2} = 24$