두 포물선과 사각형

두 포물선 $C _{1}$, $C _{2}$의 초점은 각각 ${\mathrm{F}} \mathit{_{1}} \left( 3 , 0 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{F}} \mathit{_{2}} \left( - \frac{3}{2} , 0 \right)$이고 준선의 방정식은 각각 $x = - 3$, $\displaystyle x = \frac{3}{2}$이다. 즉 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{2}}}} = 3 - \left( - \frac{3}{2} \right) = \frac{9}{2}$ 선분 ${\mathrm{PQ}}$가 $y$축과 만나는 점을 ${\mathrm{H}}$라 하면 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 각각 포물선 $C _{1}$, $C _{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{P}}}} = {\overline{\mathrm{PH}}} + 3$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{2}} {\mathrm{Q}}}} = {\overline{\mathrm{QH}}} + \frac{3}{2}$ 사각형 ${\mathrm{PQF}} \mathit{_{2}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}$의 둘레의 길이가 $41$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{2}} {\mathrm{Q}}}} + {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{2}}}} + {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{P}}}}$ $\displaystyle = {\overline{\mathrm{PQ}}} + \left( {\overline{\mathrm{QH}}} + \frac{3}{2} \right) + \frac{9}{2} + \left( {\overline{\mathrm{PH}}} + 3 \right)$ $\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{PQ}}} + 9 = 41$ 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 16$ 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표를 $\left( x _{1} , a \right)$, 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표를 $\left( x _{2} , a \right)$라 하면 $12 x _{1} = - 6 x _{2}$, $2 x _{1} = - x _{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = x _{1} - x _{2} = 3 x _{1} = 16$에서 $\displaystyle x _{1} = \frac{16}{3}$ 점 ${\mathrm{P}}$는 포물선 $C _{1}$ 위의 점이므로 $a ^{2} = 12 x _{1} = 64$, $a = 8$ 따라서 구하는 사각형 ${\mathrm{PQF}} \mathit{_{2}} {\mathrm{F}} \mathit{_{1}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{_{1}} {\mathrm{F}} \mathit{_{2}}}} \right) \times a = \frac{1}{2} \times \left( 16 + \frac{9}{2} \right) \times 8 = 82$